จำนวนเฉพาะ
ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ (อังกฤษ : prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ตรงข้ามกับจำนวนประกอบ
ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย
เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดมักเขียนแทนด้วย เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นเลขคู่ ดังนั้นคำว่า จำนวนเฉพาะคี่ จะถูกใช้เพื่อหมายถึงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ใช่ 2
ในทางปฏิบัติ เราต้องการตรวจสอบว่าเลขที่กำหนดให้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ มากกว่าจะสร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นมา ซึ่งวิธีที่ทดสอบ จะให้คำตอบด้วยความน่าจะเป็น เราสามารถตรวจสอบเลขที่มีขนาดใหญ่ (มี 1 พันหลักขึ้นไป) ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ได้อย่างรวดเร็ว โดยใช้การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะด้วยความน่าจะเป็น (probabilistic primality tests) ซึ่งวิธีนี้ จะต้องทำการสุ่มตัวเลขขึ้นมาตัวหนึ่ง เรียกว่า "พยาน" (witness) และใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับพยาน และจำนวนเฉพาะ N ทำการทดสอบ หลังจากที่ทดสอบไปหลายรอบ เราจะตอบได้ว่า N เป็น"จำนวนประกอบอย่างแน่นอน" หรือ N "อาจเป็นจำนวนเฉพาะ" วิธีทดสอบไม่สามารถให้คำตอบได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอนหรือไม่ การทดสอบบางครั้ง เมื่อใส่จำนวนประกอบลงไป ก็ให้คำตอบว่า"อาจเป็นจำนวนเฉพาะ"เสมอ ไม่ว่าจะเลือกพยานตัวใดก็ตาม จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprimes) สำหรับการทดสอบ
สำหรับจำนวนนับ N ใดๆ ที่มากกว่า 1
ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะใดๆ มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gn/pn จึงมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ gn = 2 อยู่ไม่จำกัด
ที่มา : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%B0
ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย
เซตของจำนวนเฉพาะทั้งหมดมักเขียนแทนด้วย เนื่องจาก 2 เป็นจำนวนเฉพาะตัวเดียวที่เป็นเลขคู่ ดังนั้นคำว่า จำนวนเฉพาะคี่ จะถูกใช้เพื่อหมายถึงจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่ใช่ 2
เนื้อหา |
การแทนจำนวนธรรมชาติ ด้วยผลคูณของจำนวนเฉพาะ
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตกล่าวว่า จำนวนเต็มบวกทุกตัวสามาถเขียนได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ และเขียนได้แบบเดียวเท่านั้น จำนวนเฉพาะเป็นเหมือน "บล็อกก่อสร้าง"ของจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่นมีจำนวนเฉพาะอยู่จำนวนเท่าไร?
มีจำนวนเฉพาะอยู่มากเป็นอนันต์ บทพิสูจน์ที่เก่าแก่ที่สุดสำหรับประโยคนี้ คิดขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกชื่อ ยุคลิด ในหนังสือ Elements (Book IX, Proposition 20) ยุคลิดกล่าวในหนังสือของเขาว่า "มีจำนวนเฉพาะ มากกว่าจำนวนเฉพาะ[จำนวนจำกัด]ที่กำหนดให้" บทพิสูจน์ของเขาสามารถสรุปย่อๆได้ว่า:- ให้ดูจำนวนเฉพาะมีจำนวนจำกัด ซึ่งเรากำหนดว่ามันเป็นจำนวนเฉพาะที่มีอยู่ทั้งหมด คูณจำนวนทั้งหมดเข้าด้วยกันและ บวก 1 ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะใดๆในเซตได้ เพราะว่าไม่ว่าจะหารด้วยตัวใดก็จะเหลือเศษ 1 ดังนั้น มันจะต้องเป็นจำนวนเฉพาะ หรืออาจจะมีจำนวนเฉพาะที่หารมันลงตัวแต่ไม่ได้อยู่ในเซตจำกัดนี้ ดังนั้น เซตนี้ไม่ได้มีจำนวนเฉพาะทั้งหมด
การค้นหาจำนวนเฉพาะ
ตะแกรงเอราทอสเทนีส และ ตะแกรงของ Atkin เป็นวิธีที่ใช้สร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดตามจำนวนที่กำหนดอย่างรวดเร็วในทางปฏิบัติ เราต้องการตรวจสอบว่าเลขที่กำหนดให้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ มากกว่าจะสร้างรายการจำนวนเฉพาะทั้งหมดขึ้นมา ซึ่งวิธีที่ทดสอบ จะให้คำตอบด้วยความน่าจะเป็น เราสามารถตรวจสอบเลขที่มีขนาดใหญ่ (มี 1 พันหลักขึ้นไป) ว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ได้อย่างรวดเร็ว โดยใช้การทดสอบความเป็นจำนวนเฉพาะด้วยความน่าจะเป็น (probabilistic primality tests) ซึ่งวิธีนี้ จะต้องทำการสุ่มตัวเลขขึ้นมาตัวหนึ่ง เรียกว่า "พยาน" (witness) และใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับพยาน และจำนวนเฉพาะ N ทำการทดสอบ หลังจากที่ทดสอบไปหลายรอบ เราจะตอบได้ว่า N เป็น"จำนวนประกอบอย่างแน่นอน" หรือ N "อาจเป็นจำนวนเฉพาะ" วิธีทดสอบไม่สามารถให้คำตอบได้ว่าเป็นจำนวนเฉพาะอย่างแน่นอนหรือไม่ การทดสอบบางครั้ง เมื่อใส่จำนวนประกอบลงไป ก็ให้คำตอบว่า"อาจเป็นจำนวนเฉพาะ"เสมอ ไม่ว่าจะเลือกพยานตัวใดก็ตาม จำนวนเหล่านี้เรียกว่า จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprimes) สำหรับการทดสอบ
สมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ
- ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลงตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อเรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว
- ริง (ดูที่เลขคณิตมอดุลาร์) Z/nZ เป็นฟีลด์ ก็ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะ
- ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว ap − a หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)
- จำนวนเต็ม p > 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p − 1) ! + 1 หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน). บทกลับ, จำนวนเต็ม n > 4 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n − 1) ! หารด้วย n ลงตัว
- ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ n < p < 2n (สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์)
- สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 2 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 4n ± 1
- สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 3 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 6n ± 1
การประยุกต์
จำนวนเฉพาะที่มีขนาดใหญ่มาก (ใหญ่กว่า 10100) นำไปใช้ประโยชน์ในอัลกอริทึมเข้ารหัสลับแบบกุญแจสาธารณะ นอกจากนี้ยังใช้ในตารางแฮช (hash tables) และเครื่องสุ่มเลขเทียมช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะ
- ดูบทความหลักที่ ช่องว่างจำนวนเฉพาะ
-
- gn = pn + 1 − pn
สำหรับจำนวนนับ N ใดๆ ที่มากกว่า 1
-
- N! + 2, N! + 3, ..., N! + N
ช่องว่างระหว่างจำนวนเฉพาะใดๆ มีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับจำนวนเฉพาะ ดังนั้น gn/pn จึงมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ n เข้าใกล้อนันต์ ข้อความคาดการณ์จำนวนเฉพาะคู่แฝดกล่าวว่า มี n ที่ทำให้ gn = 2 อยู่ไม่จำกัด
ที่มา : http://th.wikipedia.org/wiki/%E0%B8%88%E0%B8%B3%E0%B8%99%E0%B8%A7%E0%B8%99%E0%B9%80%E0%B8%89%E0%B8%9E%E0%B8%B2%E0%B8%B0
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น