ค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์

ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus) ในคณิตศาสตร์ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 พูดง่ายๆคือ จำนวนที่ไม่มีเครื่องหมายลบ ตัวอย่างเช่น 3 คือค่าสัมบูรณ์ของ 3 และ −3

เนื้อหา

นิยาม

นิยามได้ดังนี้: สำหรับจำนวนจริงใดๆ a, ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 (ดูเพิ่มเติม: อสมการ) |a| จะไม่เป็นจำนวนลบ ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0
ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางของจำนวนนั้นจากศูนย์ สัญกรณ์ของระยะทางในคณิตศาสตร์มักเขียนในรูปค่าสัมบูรณ์อยู่เสมอ เมื่อจำนวนจริงถูกพิจารณาเหมือนเป็นเวกเตอร์หนึ่งมิติ ค่าสัมบูรณ์คือขนาด และ p-นอร์มสำหรับ p ใดๆ ที่ตัวประกอบคงที่ ทุกๆนอร์มใน R¹ จะเท่ากับค่าสัมบูรณ์: ||x||=||1||.|x|

สมบัติ

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้

|a| ≥ 0
|a| = 0 ก็ต่อเมื่อ a = 0.
|ab| = |a||b|
|a/b| = |a| / |b| (ถ้า b ≠ 0)
|a+b| ≤ |a| + |b| (อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม)
|a−b| ≥ ||a| − |b||
$\left| a \right| = \sqrt{a^2}$
|a| ≤ b ก็ต่อเมื่อ −b ≤ a ≤ b
|a| ≥ b ก็ต่อเมื่อ a ≤ −b หรือ b ≤ a

คุณสมบัติสองอันสุดท้าย ใช้ในการแก้อสมการอยู่เสมอ ตัวอย่างเช่น

|x − 3| ≤ 9

−9 ≤ x−3 ≤ 9

−6 ≤ x ≤ 12

"x" = [-6,12]

|x − 3| ≥ 9

x − 3 ≤ -9 U x − 3 ≥ 9

x ≤ -6 U x ≥ 12

"x" = (-infinity,-6] U [12,infinity)